Rješenje geometrijskog problema starog nekoliko desetljeća moglo je spriječiti smjelu pljačku u Louvreu

Pljačka u Louvreu trajala je samo osam minuta. U tih 480 sekundi, lopovi su se pomoću mehaničke platforme uspeli do balkona na prvom katu muzeja Louvre u Parizu i potom provalili kroz prozor – usred bijela dana.

Jednom kad su ušli, razbili su dvije staklene vitrine i pobjegli s osam neprocjenjivih dragulja iz Napoleonovog doba. Bila je to „smjela pljačka“ koja je potresla cijelu Francusku, prenosi BBC.

Sedam osumnjičenih sada je uhićeno zbog krađe. Ipak, jedno od ključnih pitanja koje još uvijek muči istragu jest – zašto lopovi nisu bili primijećeni ranije.

Na saslušanju pred francuskim Senatom neposredno nakon pljačke, ravnateljica svjetski poznatog muzeja, Laurence des Cars, priznala je da muzej „nije uspio zaštititi“ dragulje. Otkrila je da je jedina kamera koja je pokrivala balkon bila okrenuta u krivom smjeru, a preliminarno izvješće pokazalo je da jedna od tri prostorije u krilu Denon, gdje se dogodila krađa, uopće nema sigurnosne kamere. 

Općenito, Des Cars je priznala da su rezovi u broju osoblja za nadzor i sigurnost ostavili muzej ranjivim te naglasila kako sustav sigurnosti Louvrea mora biti ojačan kako bi se „gledalo posvuda“.

Prema francuskom Ministarstvu kulture, alarmi su se aktivirali kako treba. No ovo je već treća velika krađa iz francuskih muzeja u samo dva mjeseca, zbog čega Ministarstvo sada provodi nove sigurnosne mjere diljem zemlje.

Matematički problem star 50 godina – i njegova veza s krađom u Louvreu

Sigurnost muzeja danas je složen i skup pothvat, ali postoji zanimljiv matematički problem star pola stoljeća koji se bavi upravo ovim pitanjem.

On glasi: Koji je najmanji broj čuvara – ili kamera od 360 stupnjeva – potreban da bi cijeli muzej bio pod nadzorom?

Poznat je kao muzejski problem ili problem umjetničke galerije (art gallery problem), a rješenje mu je iznenađujuće elegantno.

Pretpostavimo da su svi zidovi našeg zamišljenog muzeja ravne linije, tako da je tlocrt oblika koji matematičari zovu poligon – figura s bridovima i kutovima. Kamere su na fiksnim mjestima, ali imaju pogled u svim smjerovima.

Da bismo bili sigurni da je cijeli prostor pokriven, iz svake točke na tlocrtu mora se moći povući ravna linija do barem jedne kamere.

U galeriji šesterokutnog oblika kamera postavljena bilo gdje može pokriti cijeli prostor. Takav oblik zove se konveksan poligon – iz svake točke vidi se svaka druga.

No, kod L-oblikovane galerije, oblik je nekonveksan, pa postoji ograničenje gdje se kamera može postaviti, iako još uvijek jedna može pokriti cijeli prostor.

Za Z-oblik galerije potrebne su dvije kamere – uvijek postoji dio koji jedna sama kamera ne može pokriti.

Kod složenijih oblika, primjerice galerije s 15 kutova, teško je znati koliko je kamera potrebno i gdje ih postaviti.

Srećom, češki graf-teoretičar Václav Chvátal riješio je taj problem 1973. godine.

Odgovor ovisi o broju kutova (vrhova): koliko ima kutova, toliko ima i zidova, piše BBC. 

Matematičkim izračunom pokazalo se da je dovoljno broj kutova podijeliti s tri kako bismo dobili minimalan broj potrebnih kamera.

Dakle, ako galerija ima 15 kutova – 15 podijeljeno s 3 daje 5 – potrebno je pet kamera.

Ako broj kutova nije djeljiv s tri, zaokružuje se na manji cijeli broj – primjerice, kod galerije s 20 kutova, 20 ÷ 3 = 6,66, pa je dovoljno šest kamera.

Najelegantniji dokaz u matematici

Godine 1978. profesor matematike Steve Fisk s Bowdoin koledža u SAD-u dao je dokaz ovog pravila – jedan od najljepših u cijeloj matematici.

Njegova je ideja bila razdijeliti galeriju na trokute i zatim obojiti kutove trima bojama – crvenom, žutom i plavom.

Svaki trokut tako ima tri različite boje u svojim kutovima.

Ako zatim izaberemo samo jednu boju i postavimo kamere na te kutove, te kamere mogu vidjeti cijelu galeriju.

Još bolje: možemo odabrati onu boju koja ima najmanje točaka, pa time smanjiti broj potrebnih kamera – a cijeli prostor je i dalje pokriven.

U slučaju galerije s 15 kutova, ako uzmemo samo „crvene“ kutove, dovoljne su tri kamere.

Danas, s modernim kamerama koje imaju sferni (360°) vid, taj broj može biti čak i manji nego što je Fisk predviđao prije 50 godina.

Od muzeja do robota i urbanizma

Većina muzeja poput Louvrea ima pravokutne prostorije – što olakšava situaciju: jedna kamera može pokriti cijelu prostoriju ako se zidovi sastaju pod pravim kutom.

No, ravnateljica Des Cars priznala je da vanjske kamere ne pokrivaju sve vanjske zidove Louvrea.

„Nismo dovoljno rano primijetili dolazak lopova… Slabost našeg vanjskog nadzora poznata je stvar“, rekla je.

Srećom, postoje i matematičke varijante problema koje se bave „utvrdama“ ili „zatvorima“, tj. vanjskom zaštitom zgrada.

Ipak, svi ti problemi i njihova rješenja otkrivaju jednu ključnu stvar – pravilan odabir točke promatranja presudan je.

No lopovi koji ulaze u javne galerije nisu jedina prijetnja.

Britanski muzej u Londonu, primjerice, izgubio je 2011. Cartierov prsten vrijedan 760.000 funti, a 2020. godine dragulji iz njegove zbirke pojavili su se na eBayu – navodno ih je ukrao vlastiti kustos.

Muzeji, osim krađa, moraju štititi zbirke i od vandalizma, požara i drugih oblika uništenja.

No „problem umjetničke galerije“ vrijedan je pažnje i izvan muzeja – njegova se načela koriste u mnogim područjima gdje su vidljivost i pokrivenost ključni:

u robotici, za sprječavanje sudara i učinkovitije kretanje robota,

u urbanizmu, za postavljanje antena, baznih stanica i senzora,

u upravljanju katastrofama, za pozicioniranje dronova i mobilnih medicinskih postaja,

pa čak i u pozornicama i rasvjeti muzeja, kako bi svi dijelovi bili pravilno osvijetljeni.

Louvre nije odgovorio na upit BBC-ja o tome zna li za matematička rješenja ovog problema – no sasvim je sigurno da sada ima mnogo hitnijih pitanja.

Ipak, dok muzeji širom svijeta ponovno preispituju svoje sigurnosne sustave nakon pariške pljačke, možda vrijedi prisjetiti se lekcija koje ovaj 50 godina star matematički problem ima za ponuditi.